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Primitives et Équations Différentielles

Primitives de $f(x) = x^n$
$(n \neq -1)$

$$ F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

Primitives de
$ f(x) = 3x^2 + 4x - 1 $

$$ F(x) = x^3 + 2x^2 - x + C $$

Primitives de
$ f(x) = e^{2x+5} $

$$ F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+5} + C $$

Primitives de
$ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} $

$$ F(x) = 2\sqrt{x} + C $$

Primitives de
$ f(x) = 3e^{-5x} $

$$ F(x) = 3 \times \frac{e^{-5x}}{-5} + C $$

$$ F(x) = -\frac{3}{5}e^{-5x} + C $$

Primitives de
$ f(x) = \dfrac{7}{x^2} $

$$ F(x) = 7 \times \left(-\frac{1}{x}\right) + C $$

$$ F(x) = -\frac{7}{x} + C $$

Solutions de l'équation
$ y' - ay = 0 $

Les solutions sont de la forme :

$$ y(x) = C e^{ax} $$

avec $C \in \mathbb{R}$

Solutions de l'équation
$ y' + 3y = 0 $

Ici $a=3$. Les solutions sont :

$$ y(x) = C e^{-3x} $$

avec $C \in \mathbb{R}$

Solutions de l'équation
$ y' - 2y = 6 $

1. Sol. particulière (constante) :
$y_p = 6 / (-2) = -3$

2. Sol. de l'éq. homogène ($y'-2y=0$):
$y_h(x) = C e^{2x}$

3. Sol. générale :
$y(x) = y_h(x) + y_p = C e^{2x} - 3$

La fonction $y(x)=2x-1$ est-elle solution de $y'+3y = 6x-1$ ?

1. On dérive la solution proposée :
$y'(x) = 2$

2. On remplace dans le 1er membre :
$y' + 3y = 2 + 3(2x-1)$
$= 2 + 6x - 3 = 6x - 1$

3. Conclusion :
Oui, car on retrouve bien le second membre de l'équation.

Calculs de dérivées

$ f(x) = x^n $

$ f'(x) = nx^{n-1} $

$ f(x) = \sqrt{x} $

$ f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $

$ f(x) = \dfrac{1}{x} $

$ f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} $

$ f(x) = \dfrac{1}{x^4} $

$ f'(x) = -\dfrac{4}{x^5} $

$\dfrac{u}{v} $

$\dfrac{u'\times v-u \times v'}{v^2} $

$ f(x) = e^{-3x} $

$ f'(x) = -3e^{-3x} $

$u \times v $

$u' \times v + u \times v' $

$ f(x) = 4x^5 $

$ f'(x) = 20x^4 $

$ f(x) = \sqrt{7x-1} $

$ f'(x) = \dfrac{7}{2\sqrt{7x-1}} $

$ f(x) = (-4x+3)^7 $

$ f'(x) = -28(-4x+3)^6 $

Dérivées de fonctions composées

$ \left(\dfrac{1}{u}\right)' $

$ -\dfrac{u'}{u^2} $

$ (u^n)' $

$ n \times u' \times u^{n-1} $

$ (e^u)' $

$ u' \times e^u $

$ (\sqrt{u})' $

$ \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} $

$ (\ln(u))' $

$ \dfrac{u'}{u} $

$ (v(u(x)))' $

$ u'(x) \times v'(u(x)) $

$ \left(e^{x^2-3x+1}\right)' $

$ (2x-3)e^{x^2-3x+1} $

$ \left(\dfrac{1}{3x-2}\right)' $

$ -\dfrac{3}{(3x-2)^2} $

$ \left((5x^2 - 2x + 1)^4\right)' $

$ 4(10x - 2)(5x^2 - 2x + 1)^3 $

$ (\ln(x-3))' $

$ \dfrac{1}{x-3} $

Courbes de fonctions usuelles

$f(x) = e^x$

$f(x) = \frac{1}{x}$

$f(x) = x^2$

$f(x) = x^3$

$f(x) = |x|$

$f(x) = \sqrt{x}$

$f(x) = x$

$f(x) = \ln(x)$

$f(x) = \cos(x)$

$f(x) = \sin(x)$

Probabilités

$P_B(A)$ =...

La probabilité de A sachant B :

$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Condition : $P(B) \neq 0$

Quand A et B sont-ils indépendants ?

A et B sont indépendants si :

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

ou $P_B(A) = P(A)$.

Que représente $0,8$ sur cet arbre ?

C'est la probabilité que $ \bar{B} $ se réalise sachant que $ \bar{A} $ est déjà réalisé.

On la note :

$$ P_{\bar{A}}(\bar{B}) = 0,8 $$

Complétez l'arbre:

$ P(A \cup B) = ? $

$$ P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

$ P(\bar{A}) = ? $

Probabilité de l'événement contraire :

$$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $$

Quand utiliser une loi binomiale ?

On répète $n$ fois de manière indépendante une épreuve à deux issues (succès/échec).

$X$ = nombre de succès.

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, $P(X=k) = ?$

$$ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$

Espérance, variance, écart-type de $ \mathcal{B}(n, p)$ ?

Espérance : $ E(X) = np $

Variance : $ V(X) = np(1-p) $

Écart-type : $ \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} $

Que signifient $ A \cap B $ et $ A \cup B $ ?

$ A \cap B $ : Intersection
A et B se réalisent.

$ A \cup B $ : Union
Au moins l'un des deux (A ou B) se réalise.

Combinatoire et Dénombrement

k-uplets (ou p-listes)

Combien de listes ordonnées de $k$ éléments peut-on former à partir d'un ensemble de $n$ éléments (avec répétition) ?

Il y a $n$ choix pour chacun des $k$ éléments de la liste.

\[n^k\]

Code PIN

Combien de codes secrets à 4 chiffres peut-on former (chiffres de 0 à 9) ?

k-uplets

Liste ordonnée de $k=4$ éléments pris parmi $n=10$, avec répétition.

\[10^4 = 10\,000\]

Arrangements

Combien de listes ordonnées de $k$ éléments distincts peut-on former à partir d'un ensemble de $n$ éléments (sans répétition) ?

C'est le nombre d'arrangements de $k$ parmi $n$, noté $A_n^k$.

\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]

Podium

Dans une course de $8$ athlètes, combien de podiums possibles (Or, Argent, Bronze) ?

Arrangement

Liste ordonnée de $k=3$ athlètes distincts choisis parmi $n=8$.

\[A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\]

Combinaisons

Combien de sous-ensembles (sans ordre) de $k$ éléments peut-on former à partir d'un ensemble de $n$ éléments ?

C'est le nombre de combinaisons de $k$ parmi $n$, noté $\binom{n}{k}$.

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Loto

On tire 5 boules parmi 49. L'ordre ne compte pas. Combien de grilles possibles ?

Combinaisons

On choisit un sous-ensemble de $k=5$ boules parmi $n=49$.

\[\binom{49}{5} = 1\,906\,884\]

Permutations

De combien de manières peut-on ordonner les $n$ éléments distincts d'un ensemble ?

C'est un arrangement de $n$ parmi $n$.

\[n!\]

Anagrammes

Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot "MATHS" ?

Permutation

Il s'agit de trouver tous les ordres possibles des $n=5$ lettres.

\[5! = 120\]

Ensemble des parties

Combien y a-t-il de sous-ensembles dans un ensemble à $n$ éléments ?

On somme les combinaisons pour toutes les tailles $k$ possibles.

\[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\]

Pizza

Une pizzeria propose 6 ingrédients au choix. Combien de pizzas différentes peut-on composer (avec entre 1 et 6 ingrédients) ?

Ensemble des parties

On cherche le nombre total de sous-ensembles d'ingrédients possibles parmi $n=6$.

\[2^6 = 64\]

Suites Numériques

Soit la suite $u_n = 3n^2 - 5$.
Calculez $u_4$.

$u_4 = 3 \times 4^2 - 5$
$= 3 \times 16 - 5$
$= 43$

Soit la suite définie par :
$u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$.
Calculez $u_2$.

$u_1 = 2u_0 + 3 = 2(10) + 3 = 23$
$u_2 = 2u_1 + 3 = 2(23) + 3 = 49$

Forme par récurrence et explicite d'une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

Par récurrence :
$u_{n+1} = u_n + r$

Explicite :
$u_n = u_0 + n \times r$

Ex: $u_0=5, r=2 \implies u_n=5+2n$

Forme par récurrence et explicite d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$.

Par récurrence :
$u_{n+1} = q \times u_n$

Explicite :
$u_n = u_0 \times q^n$

Ex: $u_0=3, q=2 \implies u_n=3 \times 2^n$

Calculer la somme des premiers entiers :
$ S = 1+2+3+...+n $

$$ S = \frac{n(n+1)}{2} $$

Somme d'une suite géométrique :
$S = 1 + q + ... + q^n$

Pour $q \neq 1$ :

$$ S = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$

Ex: $1+2+...+2^7 = \frac{1-2^8}{1-2} = 255$

Quelle est la limite de la suite
$ u_n = 12 \times (0.8)^n + 5$?

Comme $-1 < 0.8 < 1$,
on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} (0.8)^n = 0 $.
Donc par produit et somme, $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 12 \times 0 + 5 = 5 $.

Quelle est la limite de la suite
$ u_n = 3 \times (2)^n - 100 $?

Comme $2 > 1$,
on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 2^n = +\infty $.
Donc, par produit et somme, $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $.

Quelle est la limite de la suite
$ u_n = n^2 - 100n + 5 $?

C'est une forme indéterminée.
On factorise par le terme de plus haut degré :
$ u_n = n^2(1 - \frac{100}{n} + \frac{5}{n^2}) $.
Par produit on a donc $+\infty$.

Les 3 étapes du raisonnement par récurrence ?

1. Initialisation : On vérifie la propriété pour le premier rang $n_0$.

2. Hérédité : On suppose la propriété vraie pour un rang $k$, et on la démontre pour le rang $k+1$.

3. Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \ge n_0$.

Python

for i in range(5):
    print(i)


nombres = [10, 20, 5]
somme = 0
for n in nombres:
    somme = somme + n
print(somme)

c = 3
while c > 0:
    print(c)
    c = c - 1
print("Go !")

3
2
1
Go !

ma_liste = [10, 20, 30]
ma_liste[1] = 25
ma_liste.append(40)
print(ma_liste)

[10, 25, 30, 40]

def fonction(n):
    return n * n

resultat = fonction(9)
print(resultat)

nombres = [1, 12, 8, 15]
for n in nombres:
    if n > 10:
        print(n)

12
15


u = 10
n = 0
while u <= 50:
    u = u + 5
    n = n + 1
print(n)


u = 5
n = 0
while u <= 1000:
    u = u * 2
    n = n + 1
print(n)


u = 100
n = 0
while u > 0:
    u = u - 7
    n = n + 1
print(n)


fonction = [x**2 for x in range(5)]
print(fonction)

[0, 1, 4, 9, 16]

Géométrie dans l'espace

Soient $A(2, -1, 5)$ et $B(3, 1, 0)$.
Déterminer $\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 1 - (-1) \\ 0 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}$

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ avec :
$\vec{u}(1, -2, 4)$ et $\vec{v}(3, 5, 1)$.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(3) + (-2)(5) + (4)(1)$
$= 3 - 10 + 4 = -3$

Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
$\vec{u}(2, 5, -1)$, $\vec{v}(3, -1, 1)$

On calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :
$(2)(3) + (5)(-1) + (-1)(1)$
$= 6 - 5 - 1 = 0$.
Oui, ils sont orthogonaux.

Droite $(D)$ passant par $A(1,0,2)$
de vecteur directeur $\vec{u}(5,-1,3)$.
Donner une représentation paramétrique.

$M(x,y,z) \in (D) \iff \overrightarrow{AM} = t \vec{u}$

$$ \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = -t \\ z = 2 + 3t \end{cases}, t \in \mathbb{R} $$

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ si :
$\|\vec{u}\| = 5$, $\|\vec{v}\| = 2$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{3}$.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)$
$= 5 \times 2 \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$= 10 \times \frac{1}{2} = 5$

Plan $(P)$ d'équation :
$5x - y + 7z - 3 = 0$.
Donner un vecteur normal.

Pour un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$, le vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ est normal.
Ici, $\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}$.

Calculer la norme du vecteur
$\vec{u} = (2, -3, 6)$.

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
$= \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}$
$= \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.

Calculer la distance AB avec :
$A(1, 0, -2)$ et $B(3, 1, 4)$.

Distance = $\|\overrightarrow{AB}\|$
$= \sqrt{(3-1)^2 + (1-0)^2 + (4-(-2))^2}$
$= \sqrt{2^2 + 1^2 + 6^2}$
$= \sqrt{4+1+36} = \sqrt{41}$.